\documentclass[10pt]{article}
%\usepackage[latin2]{inputenc}

\usepackage{verbatim,amsmath,amssymb,amsthm}


\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[cp1250]{inputenc}


\newtheorem{thm}{Věta}
\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemma}
\newtheorem{cor}[thm]{Důsledek}
\newtheorem{df}[thm]{Definice}
\newtheorem*{ex*}{Příklady}
\newtheorem*{exp*}{Poznámky a příklady}
\newtheorem*{poz*}{Poznámky}

\newtheorem*{exe*}{Příklad}
\newtheorem*{pr*}{Na procvičení}
%\newtheorem{problem}[Theorem]{Problem}
%\newtheorem{Conjecture}{Conjecture}
\newtheorem{rem}[thm]{Poznámka}

\newcommand{\vf}{\varphi}
\newcommand{\PR}{{P\! R}}
\newcommand{\TP}{{T\! P}}
\newcommand{\UPR}{{\cal U}_{\PR}}
\newcommand{\dist}{{\rm dist}\,}
\newcommand{\rd}{{\mathbb R}^d}
\newcommand{\sph}{{{\mathbb S}^{d-1}}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\N}{{\mathcal N}}
\newcommand{\INt}{{\rm int}\,}
\newcommand{\ep}{\varepsilon}
\newcommand{\nor}{{\rm nor}\,}
\newcommand{\supp}{{\rm supp}\,}
\newcommand{\diam}{{\rm diam}\,}
\newcommand{\Nor}{{\rm Nor}\,}
\newcommand{\Tan}{{\rm Tan}\,}
\newcommand{\abs}{{\rm abs}}
\newcommand{\lin}{{\rm lin}\,}
\newcommand{\Ima}{{\rm Im}\,}
\newcommand{\Ker}{{\rm Ker}\,}
\newcommand{\reach}{{\rm reach}\,}
\newcommand{\SOd}{{\rm SO}_d}
\newcommand{\exo}{{\rm exo}}
\newcommand{\cov}{{\rm cov}\,}
\newcommand{\subgr}{{\rm subgr}\,}
\newcommand{\loc}{{\rm loc}\,}
\newcommand{\E}{{\mathbb E}}
\newcommand{\Ha}{{\cal H}}
\newcommand{\bd}{\partial}
\DeclareMathOperator*{\esslim}{ess\,lim}
\newcommand{\spa}{\operatorname{span}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}

\newcommand{\ind}[1]{\mathbf{1}_{#1}}
%\newcommand{\eps}{r}%{\varepsilon}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\sL}{\cal{L}}
\newcommand{\sS}{\cal{S}}
\newcommand{\sM}{\cal{M}}
\newcommand{\usS}{\overline{\cal S}}
\newcommand{\usM}{\overline{\cal M}}
\newcommand{\lsS}{\underline{\cal S}}
\newcommand{\lsM}{\underline{\cal M}}
\newcommand{\ldim}{\underline{\dim}}
\newcommand{\udim}{\overline{\dim}}
\newcommand{\var}{{\rm var}}
\newcommand{\ls}{\underline{s}}
\newcommand{\gC}{\widetilde{C}}
\newcommand{\sumn}{\sum_{n=1}^\infty}

\newcommand{\Cc}{\operatorname{Cc}}
\newcommand{\Cv}{\operatorname{Cv}}


\def\qe{\mathbb Q}
\def\en{\mathbb N}
\def\er{\mathbb R}
\def\zet{\mathbb Z}
\def\C{\mathbb C}
\def\K{\mathcal K}
\def\H{\mathcal H}
\def\P{\mathcal P}
\def\M{\mathbb M}
\def\F{\mathcal F}
\def\ii{\mathfrak i}
\def\D{\mathfrak D}
\def\R{\mathfrak R}

\newcommand{\graph}{\operatorname{graph}}
\newcommand{\card}{\operatorname{card}}
\newcommand{\co}{\operatorname{co}}
\newcommand{\conv}{\operatorname{conv}}
\newcommand{\intr}{\operatorname{Int}}
%\newcommand{\ang}{\operatorname{ang}}
\newcommand{\aff}{\operatorname{Aff}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{Proj}}
\newcommand{\tn}{\operatorname{Tan}}
\newcommand{\cl}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\adm}{\operatorname{adm}}
\newcommand{\epi}{\operatorname{epi}}
\newcommand{\hyp}{\operatorname{hyp}}
\newcommand{\arc}{\operatorname{arc}}
\newcommand{\cotan}{\operatorname{cotan}}
\newcommand{\cotanh}{\operatorname{cotanh}}
\newcommand{\arccotan}{\operatorname{arccotan}}
\newcommand{\argtanh}{\operatorname{argtanh}}
\newcommand{\argcotanh}{\operatorname{argcotanh}}
\newcommand{\argsinh}{\operatorname{argsinh}}
\newcommand{\argcosh}{\operatorname{argcosh}}
\newcommand{\ceq}{\stackrel{c}{=}}



\newcommand{\WDC}{{W\! DC}}
\newcommand{\UWDC}{{\cal U}_{\WDC}}
\newcommand{\UWDCG}{{\cal U}_{\WDC}^{\cal G}}

\newcommand{\llc}{\;\halfsq\;}
\newcommand{\lrc}{\;\ihalfsq\;}

\def\halfsq{\hbox{\kern1pt\vrule height 7pt\vrule width6pt height 0.4pt depth0pt\kern1pt}}
\def\ihalfsq{\hbox{\kern1pt \vrule width6pt height 0.4pt depth0pt
		\vrule height 7pt \kern1pt}}


\newcommand{\cotg}{\operatorname{cotg}}
\newcommand{\tg}{\operatorname{tg}}
\newcommand{\id}{\operatorname{Id}}

\def\necht{Nechť}
\def\bud{Buď}

\newcommand\ddfrac[2]{\frac{\displaystyle #1}{\displaystyle #2}}

%\numberwithin{equation}{section} \numberwithin{thm}{section}

\font\Bbb=msbm10 at 12pt
\begin{document}
\input{2_3.tex}          
\input{4_3.tex}
%\input{11_3.tex}

\section{Diferenciální rovnice}
\begin{df}[Obyčejná diferenciální rovnice]
	Obyčejnou diferenciální rovnicí (krátce ODR) budeme nazývat rovnici ve tvaru 
	\begin{equation}\label{eq:ODR}
		\tag{ODR} 
		F(f^{(n)}(x),f^{(n-1)}(x),\dots,f'(x),f(x),x)=0,
	\end{equation}
	kde $F:\er^{n+2}\supseteq D_F\to\er$ je nějaká funkce.
\end{df}

\begin{df}[Řešení ODR]
	Funkci $f$ definovanou na neprázdném otevřeněm intervalu $I$ nazýváme řešením rovnice \eqref{eq:ODR}, pokud má ve všech bodech $I$ vlastní derivaci až do řádu $n$ a ve všech bodech $x$ splňuje rovnici \eqref{eq:ODR}.
	
	Maximálním řešením rovncie \eqref{eq:ODR} nazýváme takové její řešení $f$, že neexistuje jiné její řešení $g$ splňující $D_f\subsetneq D_g$. 
\end{df}

\begin{exp*}
	\begin{enumerate}
		\item Neznámou funkci často označujeme $y(x)$ a často také vynecháváme proměnnou $x$. Rovnice, které splňují naši definici jsou například
		$$
		y'-y=0,\quad y''+y=0,\quad (y''')^2y-\sin x=0,
		$$
		(zde by odpovídající funkce $F$ na levé straně byly $F(u,v,w)=u-v$, $F(u,v,w,z)=u^2+w$ a $F(u,v,w,z,t)=u^2w-\sin t$).
		Například rovnice $y'(y)=0$ ale definici nesplňuje.
		\item Řádem rovnice \eqref{eq:ODR} označujeme takové $k$, že $f^{(k)}$ je nejvyšší derivace, která se netriviálně v rovnici vyskytuje (obecně spíše neformální, ale v konkrétních případech bude dávat dobrý smysl).
		
		Rovnici \eqref{eq:ODR} pak často uvažujeme i ve tvaru rozřešeném vzhledem k nejvyšší derivaci, tedy ve tvaru
		\begin{equation}\label{eq:rozresena}
			f^{(n)}(x)=G(y^{(n-1)},\dots, f',f,x).
		\end{equation}
		Rovněž často uvažujeme vektorovou ODR (soustavu), kde pro nás bude základním příkladem soustava rovnice $1.$ řádu vyřešená vzhledem k (první) derivaci
		\begin{equation}\label{eq:soustava1radu}
			\begin{aligned}
				f_1'&=F_1(f_1,\dots,f_n,x),\\
				f_2'&=F_2(f_1,\dots,f_n,x),\\
				&\vdots\\
				f_n'&=F_n(f_1,\dots,f_n,x),
			\end{aligned}
		\end{equation}
		případně ve vektorovém tvaru
		\begin{equation*}
			\mathbf{f}'=\mathbf{F}(\mathbf{f},x),
		\end{equation*}
		kde
		$$
		\mathbf{f}=(f_1,\dots,f_n),\quad \mathbf{F}=(F_1,\dots,F_n).
		$$
		
		Každou rovnici tvaru \eqref{eq:rozresena} můžeme ekvivalentně zapsav ve tvaru \eqref{eq:soustava1radu} pomocí substituce
		$$
		g_1=f,\quad g_2=f',\dots,g_n=f^{(n-1)},
		$$
		ta pak dává
		$$
		\begin{aligned}
			g_1'&=g_2,\\
			g_2'&=g_3,\\
			&\vdots \\
			g_{n}'&=G(g_n,g_{n-1},\dots, g_1,x).
		\end{aligned}
		$$
		Např. rovnici $y''=-y$ můžeme takto (pomocí $y_1=y$ a $y_2=y'$) převést na soustavu
		$$
		\begin{aligned}
			y_1'&=y_2,\\
			y_2'&=-y_1.
		\end{aligned}
		$$
		Tu pak můžeme zapsat i v maticovém zápisu
		$$
		\mathbf{y}'=A\cdot\mathbf{y},
		$$
		kde 
		$$
		\mathbf{y}=(y_1,y_2),\quad 
		A=
		\begin{pmatrix}
			0&1\\
			-1&0
		\end{pmatrix}.
		$$
	\end{enumerate}
\end{exp*}
	\subsection{Rovnice $1.$ řádu}
	Začneme z rovnicemi $1.$ řádu, ty budeme zpravidla uvažovat ve tvaru rozřešeném vzhledem k (první) derivaci, tedy
	$$
	y'=F(x,y).
	$$
	Popisují zpravidla růst/pokles nějaké veličiny, např.
	$$
	y'=ay,
	$$
	pro $a>0$ neomezený růst populace, pro $a<0$ jednoduchý model chemické reakce,
	$$
	y'=ay\left(1-\frac{y}{M}\right)
	$$
	omezený růst populace, kde $M$ udává maximální kapacitu prostředí.
%\input{16_3.tex}
Prvním speciálním druhem budou tzv. rovnice se separovanýmí proměnnými, tedy rovnice ve tvaru
\begin{equation}\label{eq:sp}
	\tag{SP}
	y'=f(x)g(y).
\end{equation}
Úmluva: kdykoliv řekneme interval, budeme mít na mysli neprázdný otevřený interval.
\begin{thm}[řešení rovnice \eqref{eq:sp}]\label{thm:reseniSP}
	Nechť 
	\begin{itemize}
		\item $f$ je spojitá na intervalu $I$,
		\item $g$ je spojitá a nenulová na intervalu $J$,
		\item $F$ je primitivní funkce k $f$ na $I$,
		\item $G$ je primitivní funkce k $\dfrac1g$ na $J$,
	\end{itemize}
Potom:
\begin{enumerate}
	\item jsou-li $C\in\er$ a interval $I^*\subseteq I$ voleny tak, aby
	platilo
	$$
	F(x)+C\in D_{G^{-1}},\quad x\in I^*
	$$
	pak je funkce 
\begin{equation}\label{eq:Ihvezdicka}
		y(x)=G^{-1}(F(x)+C),\quad x\in I^*
\end{equation}
	řešením rovnice \eqref{eq:sp}.
	\item Volme $x_0\in I$ a $y_0\in J$ a položme 
	$$
	F^*(x)=\int_{x_0}^{x}f(t)\;dt,\quad
	G^*(y)=\int_{y_0}^{y}f(t)\;dt.
	$$
	Potom je funkce 
	$$
	y^*(x)=(G^*)^{-1}(F^*(x))
	$$
	řešením rovnice \eqref{eq:sp} na okolí bodu $x_0$ splňujícím $y^*(x_0)=y_0$ (tj. $y^*$ je řešením tzv. Cauchyovy úlohy).
	Navíc, pokud je $z$ řešení rovnice \eqref{eq:sp} splňující $z(x_0)=y_0$, potom existuje okolí budu $x_0$, na kterém platí $z=y^*$.
\end{enumerate}
\end{thm}
%\input{18_3.tex}
Jak dostaneme pomocí Věty~\ref{thm:reseniSP} maximální řešení?
Nejprve si všimneme, že pro každý nulový bod $C$ funkce $g$ je $y(x)=C$, $y\in I\subset D_f$ řešením \eqref{eq:sp} (tzv. stacionální řešení).
Pokud ve Větě~\ref{thm:reseniSP} navíc platí:
\begin{itemize}
	\item $I$ je nějaký maximální interval v $D_f$,
	\item $J$ maximální interval v $D_g$ mínus nulové body $g$,
	\item $I^*$ maximální interval splňující \eqref{eq:Ihvezdicka},
\end{itemize}
potom je řešení $y(x)=G^{-1}(F(x)+C)$ maximální v následujícím smyslu: je-li $\alpha$ krajní bod $I^*$ (řekněme levý) potom buď $\alpha \not\in D_f$, $\displaystyle\lim_{x\to \alpha+}y(x)$ existuje, ale neleží v $D_g$ (v těchto případech už nelze řešení za tento krajní bod prodloužit), nebo
lze řešení $y$ spojitě navázat na stacionární řešení ve tvaru $\tilde y=C$ pro nějaké $C\in\er$, $g(C)=0$. V posledním případě můžeme řešení $y$ prodloužit (jako řešení \eqref{eq:sp}) pomocí následující věty
\begin{thm}[o lepení pro \eqref{eq:sp}]\label{thm:lepeniSP}
	Nechť
	\begin{itemize}
		\item $z$ je řešení rovnice \eqref{eq:sp} na intervalu $(a,b)$,
		\item $w$ je řešení rovnice \eqref{eq:sp} na intervalu $(b,c)$,
		\item $\displaystyle\lim_{x\to b-}z(x)=L=\displaystyle\lim_{x\to b+}w(x)$,
		\item $f$ je spojitá v $b$ a $g$ je spojitá v $L$.
	\end{itemize}
Potom je funkce
$$
y(x)=
\begin{cases}
	z(x),&\quad x\in(a,b),\\
	L,&\quad x=b,\\
	w(x),&\quad x\in(b,c)
\end{cases}
$$
řešením rovnice \eqref{eq:sp} (na intervalu $(a,c)$).
\end{thm}

\begin{poz*}
	Předchozí věta platí obecněji pro rovnice $y'=F(x,y)$, kde místo spojitosti $f$ a $g$, předpokládáme spojitost $F$ v $(b,L)$.
\end{poz*}


Věta~\ref{thm:reseniSP} a Věta~\ref{thm:lepeniSP} jsou tak podkladem pro následující $6$ krokový postup pro řešení rovnic ve tvaru \eqref{eq:sp}:
\begin{itemize}
	\item[krok 1.] najdeme všechny maximální intervaly $I_k$ v definičním oboru $D_f$,
	\item[krok 2.] najdeme všechny maximální intervaly $J_l$ v definičním oboru $D_g$ sjednoceném s nulovými body $g$ (tj. v definičním oboru $\frac1g$),
	\item[krok 3.] určíme stacionární řešení odpovídající nulovým bodům funkce $g$ (na intervalech $I_k$),
	\item[krok 4.] pro každý interval $I_k$ najdeme odpovídající primitivní funkci $F$ a pro každý interval $J_l$ odpovídající primitivní funkci $G$
	\item[krok 5.] pro každou dvojici $(I_k,J_l)$ a $C\in\er$ najdeme všechny maximální intervaly $I^*$ a jim odpovídající řešení $y=G^{-1}(F+C)$ podle Věty~\ref{thm:reseniSP},
	\item[krok 6.] řešení případně slepíme podle Věty~\ref{thm:lepeniSP}, abychom dostali všechna maximální řešení.
\end{itemize}

%\input{23_3.tex}

\subsubsection{Lineární rovnice $1.$ řádu}
Lineární rovnicí $1.$ řádu budeme nazývat rovnici
\begin{equation}\label{L1}
	\tag{L1}
y'+a(x)y=b(x),
\end{equation}
kde $a$ a $b$ jsou spojité funkce nanějakém intervalu $(\alpha,\beta)$.
Následující věta dává návod, jak u rovnice \eqref{L1} nalézt obecné řešení.
\begin{thm}[řešení rovnice \eqref{L1}]
	Nechť
	\begin{itemize}
		\item $A$ je primitivní funkce k funkce $a$ na $(\alpha,\beta)$,
		\item $B$ je primitivní funkce k funkce $be^A$ na $(\alpha,\beta)$.
	\end{itemize}
Potom $y$ je obecné řešení rovnice \eqref{L1} na intervalu $(\alpha,\beta)$ právě tehdy, když existuje $C\in\er$, že
$$
y=Be^{-A}+Ce^{-A}.
$$
\end{thm}

Pokud bychom hledali řešení splňující pro nějaká $x_0\in(\alpha,\beta)$ a $y_0\in\er$ počáteční podmínku $y(x_0)=y_0$ stačí zvolit $A$, $B$ a $C$ ve větě jako
$$
A(x)=\int_{x_0}^x a(t)\; dt,\quad
B(x)=\int_{x_0}^x b(t)e^{A(t)}\; dt\quad \text{a}\quad
C=y_0.
$$

\subsubsection{Lineární rovnice obecného řádu}
Budeme uvažovat rovnice ve tvaru
\begin{equation}\label{L}
	\tag{L}
	a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=f(x),
\end{equation}
kde $f,a_0,\dots a_n:(a,b)\to\er$ jsou spojité, $a_n(x)\not=0$, $x\in (a,b)$.

Takovou rovnici vždy můžeme upravit do tvaru vyřešeného vzhledem k $n$-té derivaci (proměnnou $x$ už budeme zpravidla vynechávat)
$$
f^{(n)}=-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{a_k}{a_n}y^{k}.
$$
To například okamžitě implikuje, že každé řešení $y$ musí být nejen diferencovatelné, ale musí mít i spojitou derivaci řádu $n$. V tomto ohledu se nám bude hodit i následující značení (analogické ke značení $C((a,b))$):
pro $n\in\en$ budeme označovat
$$
C^n((a,b))=\{f:(a,b)\to\er: f^{(n)}\text{ je spojitá na $(a,b)$}\}.
$$
Množina $C^n((a,b))$ (stejně jako $C((a,b))$) tvoří (s obvyklými operacemi sčítání funkcí a násobení funkce konstantou) vektorový prostor nad tělesem $\er$. 

\subsubsection*{Homogenní (lineární) rovnice}
Začneme s případem, kde je pravá strana rovnice \eqref{L} (funkce $f$) identicky rovna $0$, tj. s rovnicí ve tvaru
\begin{equation}\label{Lh}
	\tag{Lh}
	a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=0.
\end{equation}
Zde (díky linearitě rovnice) platí, že množina všech řešení \eqref{Lh} na $(a,b)$ tvoří podprostor vektorového prostoru $C^{n}((a,b))$. Při studiu těchto rovnic využijeme následující obecnou větu, jejíž důkaz zatím odložíme
\begin{thm}[existence a jednoznačnost řešení rovnice \eqref{L}]
	Nechť $f,a_0,\dots,a_n\in C((a,b))$, $a_n\not=0$ na $(a,b)$, $x_0\in(a,b)$, $(y_0,\dots, y_{n-1})\in \er^n$. Potom existuje právě jedno řešení $y$ rovnice \eqref{L} na $(a,b)$, pro které platí
	$$
	y^{(k)}(x_0)=y_{k},\quad k=0,\dots, n-1.
	$$
\end{thm}
První informací o prostoru řešení rovnice \eqref{Lh} bude následující věta
\begin{thm}[prostor řešení rovnice \eqref{Lh}]
	Dimenze prostoru všech řešení rovnice \eqref{Lh} (na intervalu $(a,b)$) je $n$.
\end{thm}
\begin{df}[fundamentální systém]
	Libovolonou bázi prostoru řešení rovnice \eqref{Lh} budeme nazývat fundamentálním systémem rovnice \eqref{Lh}.
\end{df}
Při studiu prostoru řešení rovnice \eqref{Lh} (a rovněž \eqref{L}) nám pomůže následující pojem:
\begin{df}[Wronského determinant]
Pro $u_1,\dots, u_n\in C^{n-1}((a,b))$ a $x\in(a,b)$ definujeme Wronského determinant (Wronskián) jako
\begin{equation*}
	W(x)=W_{u_1,\dots,u_n}(x)=
	\begin{pmatrix}
		u_1(x),&\cdots,& u_n(x) \\
		u'_1(x),&\cdots,& u'_n(x)\\
		\vdots,&\ddots,&\vdots\\
		u_1^{(n-1)}(x),&\cdots,& u_n^{(n-1)}(x)
	\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\end{df}
\begin{thm}[vlastnosti Wronskiánu]
	Nechť $u_1,\dots, u_n\in C^{n}((a,b))$ jsou řešení rovnice \eqref{Lh}, potom $W'(x)=-\dfrac{a_{n-1}(x)}{a_n(x)}W(x)$, $x\in(a,b)$.
\end{thm}
\begin{exp*}
	\begin{enumerate}
		\item Wronskián tedy, za předpokladu, že $u_1,\dots, u_n$ jsou řeeními rovnice \eqref{Lh}, splňuje jednoduchou lineární diferenciální rovnici $1.$ řádu, kterou snadno vyřešíme. Je-li $x_0\in(a,b)$ potom platí 
\begin{equation}\label{eq:wronskianJakoReseni}
			W(x)=W(x_0)e^{A(x)},\quad\text{kde}\quad A(x)=-\int_{x_0}^x\dfrac{a_{n-1}(t)}{a_n(t)}\;dt.
\end{equation}
		Speciálně dostáváme, že v tomto případě platí
		$$
	\exists\, x\in(a,b):\,W(x)=0\iff \forall\, x\in(a,b):\,W(x)=0.
		$$
		Poslední vzorec nám rovněž dává metodu snižování řádu v následujícím smyslu: uvažme rovnici 
		\begin{equation}\label{eq:snizovanaRovnice}	
		y''-2y'+y=0.
		\end{equation}
		Snadno uhádneme, že funkce $e^x$ je jejím řešením. Víme, že musí existovat další lineárně nezávislé řešení. To už ale hádat nemusíme, stačí si uvědomit, že Wronskián můžeme spočítat dvěma způsoby. Jednak z definice (je-li $y$ řešení \eqref{eq:snizovanaRovnice})
		$$
		W(x)=\det
		\begin{pmatrix}
			e^x, & y\\
			(e^x)', & y'
		\end{pmatrix}
	=e^x(y'-y),
		$$
		a druhak pomocí \eqref{eq:wronskianJakoReseni}, což dává, že existuje $C\in\er$, že
		$$
		W(x)=Ce^{2x}.
		$$
		Porovnáním dostaneme, že
		$$
		y'-y=Ce^x.
		$$
		To je rovnice $1.$ řádu, kterou snadno vyřešíme, její obecné řešení má tvar
		$$
		y=Dxe^x+Ce^x.
		$$
		Odtud už pak snadno odvodíme, že fundamentální systém rovnice je např. $\{e^x,xe^x\}$.
	\end{enumerate}
\end{exp*}
\begin{thm}[lineární nezávislost a Wronskián]
	Nechť $u_1,\dots, u_n\in C^{n}((a,b))$ jsou řešení rovnice \eqref{Lh}, potom $\{u_1,\dots, u_n\}$ je fundamentálním systémem rovnice \eqref{Lh} právě tehdy, když existuje $x\in(a,b)$, že $W(x)\not=0$.
\end{thm}

\subsection{Nehomogenní rovnice - variace konstant}

Nechť $y_p$ je řešení rovnice \eqref{L} (na $(a,b)$), potom obecné řešení rovnice \eqref{L} (na $(a,b)$) má tvar
$$
y=y_p+y_h,
$$
kde $y_h$ je obecné řešení rovnice \eqref{Lh}.
Metoda variace konstant znamená, že hladáme řešení $y_p$ ve tvaru
$$
y_p(x)=\sum_{k=1}^n C_k(x)y_k(x),
$$
kde $\{y_1,\dots,y_n\}$ je fundamentální systém rovnice \eqref{Lh}.

%\input{30_3.tex}
\begin{thm}[variace konstant]
	Nechť $\{y_1,\dots,y_n\}$ je fundamentální systém rovnice \eqref{Lh} a nechť funkce $C_1,\dots C_n:(a,b)\to\er$ splňují pro $x\in(a,b)$ soustavu
	\begin{equation}
			\begin{pmatrix}
			y_1(x),&\cdots,& y_n(x) \\
			\vdots,&\ddots,&\vdots\\
			y_1^{(n-1)}(x),&\cdots,& y_n^{(n-1)}(x)
		\end{pmatrix}\cdot 
	\begin{pmatrix}
		C_1'(x)\\
		\vdots\\
		C_n'(x)
	\end{pmatrix}
=
	\begin{pmatrix}
	0\\
	\vdots\\
	0\\
	\frac{f(x)}{a_n(x)}
\end{pmatrix}.
	\end{equation}
Potom funkce $\displaystyle y_p(x)=\sum_{k=1}^n C_k(x)y_k(x)$ je řešením rovnice \eqref{L}.
\end{thm}

\subsection{Rovnice s konstantními koeficienty}
Nyní se budeme věnovat otázce, jak najít fundamentální systém pro rovnici \eqref{Lh} za předpokladu, že $a_n$ jsou konstantní funkce (toto předpokládáme po zbytek kapitoly). 

Základní myšlenka je, že řešení hledáme ve tvaru $y=e^{\lambda x}$, pro takovou funkci totiž platí, že je řešením rovnice \eqref{Lh} právě tehdy, když je $\lambda$ řešením rovnice
$$
a_n\lambda ^n+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\dots+a_1\lambda+a_0=0.
$$
Polynomu na levé straně této rovnice se zpravidla říká charakteristický polynom (příslušný rovnici \eqref{Lh}). Má-li ale charakteristický polynom vícenásobné nebo komplexní kořeny, není možné z funkcí tvaru $e^{\lambda x}$ sestavit fundamentální systém celý.

V obecném případě hledáme fundamentální systém následovně:
\begin{itemize}
	\item nejprve najdeme kořeny charakteristického polynomu 
	$$
	p(\lambda)=a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda +a_0,
	$$ 
	\item za každý reálný kořen $\lambda$ násobnosti $k$ přidáme do fundamentálního systému funkce
	$$
	e^{\lambda x},xe^{\lambda x},\dots,x^{k-1}e^{\lambda x},
	$$
	\item za každou dvojici komplexně sdružených kořenů $\alpha\pm \beta i$ násobnosti $k$ přidáme do fundamentálního systému funkce
	$$
	e^{\alpha x}\sin(\beta x),e^{\alpha x}\cos(\beta x),
	\dots,
	x^{k-1}e^{\alpha x}\sin(\beta x),x^{k-1}e^{\alpha x}\cos(\beta x).
	$$
\end{itemize}
Poznamenejme, že $p$ je stupně $n$ a tedy má včetně násobnosti $n$ kořenů. Rovněž platí, že komplexní kořeny se musí vyskytovat ve dvojici komplexně sdružených čísel stejné násobnosti.

\subsubsection*{Speciální pravá strana}
Máme-li nalezen fundamentální systém rovnice \eqref{Lh} můžeme nalézt řešení rovnice \eqref{L} pomocí variace konstant. Je-li ale pravá strana ve speciálním tvaru. můžeme (u rovnic s konstantními koeficienty) nalézt řešení následujícím postupem:

Předpokládáme, že $f$ má (speciální) tvar
$$
f(x)=P(x)e^{\alpha x}\cos(\beta x)+ Q(x)e^{\alpha x}\sin(\beta x),
$$
kde $P$ a $Q$ jsou polynomy.
Možné tvary takové pravé strany jsou například
$$
\begin{array}{ll}
	f(x)=x^{31},&\quad\text{pro $\alpha=0$, $\beta=0$, $P(x)=x^{31}$, $Q(x)=0$}\\
	f(x)=(x+1)e^x,&\quad\text{pro $\alpha=1$, $\beta=0$, $P(x)=x+1$, $Q(x)=0$}\\
	f(x)=(x^2-x)e^{-2x}\sin 4x,&\quad\text{pro $\alpha=-2$, $\beta=4$, $P(x)=0$, $Q(x)=x^2-x$}
\end{array}
$$

Partikulární řešení $y_p$ pak hledáme ve tvaru 
$$
y_p(x)=x^k\left[R(x)\cos(\beta x)e^{\alpha x}+ S(x)\sin(\beta x)e^{\alpha x}\right],
$$
kde $\deg_R,\deg_S\leq \max(\deg_P,\deg_Q)$ a $k$ je násobnost kořene $\alpha +\beta i$ v charakteristickém polynomu odpovídajícímu levé strané.

Například pro rovnici 
$$y''-2y'+2=(x^2+1)e^x\sin x$$ 
platí
\begin{itemize}
	\item charakteristický polynom má tvar $p(\lambda)=\lambda^2-2\lambda+2$ a kořeny $1\pm i$,
	\item fundamentální systém homogenní rovnice tedy bude mít tvar $\{e^x\sin x,e^x\cos x\}$,
	\item pravá strana má speciální tvar pro 
	$$
	\alpha =\beta=1,\quad P(x)=0,\quad Q(x)=x^2+1,
	$$
	násobnost kořenu $\alpha+\beta i$ v charakteristickém polynomu je $1$
	\item partikulární řešení tedy hledáme ve tvaru
	$$
	y_p(x)=x\left[(Ax^2+Bx+C)e^x\cos x+
	(Dx^2+Ex+F)e^x\sin x\right].
	$$
\end{itemize}

%\input{6_4.tex}

\section{Číselné řady}

\begin{df}[číselná řada a její součet]
	Nechť $\displaystyle\{a_n\}_{n=1}^\infty $ je číselná posloupnost. Symbol $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ budeme nazývat nekonečnou řadou, čísla $\displaystyle s_N=\sum_{n=1}^Na_n$ pak jejími čatečnými součty. 
	
	Existuje-li limita $\displaystyle s=\lim_{N\to\infty}s_N$, nazýváme ji souštem řady $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ (píšeme $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n=s$). Říkáme, že řada $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$:
	\begin{itemize}
		\item konverguje, pokud $s\in\er$,
		\item diverguje, pokud nekonverguje,
		\item diverguje k $\pm\infty$, pokud $s=\pm\infty$,
		\item osciluje, pokud není $s$ definováno.
	\end{itemize}
\end{df}

\begin{exp*}
	\begin{enumerate}
		\item Platí
		\begin{equation*}
			\sum_{n=1}^\infty q^n
			\begin{cases}
				\text{konverguje, pokud $|q|<1$,}\\
				\text{diverguje k $+\infty$, pokud $q\geq 1$,}\\
				\text{v ostatních případech osciluje.}\\
			\end{cases}
		\end{equation*}
	a
	\begin{equation*}
		\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}
		\begin{cases}
			\text{konverguje, pokud $\alpha>1$,}\\
			\text{v ostatních případech diverguje k $+\infty$.}\\
		\end{cases}
	\end{equation*}
	\item Budeme (podobně jako u posloupností) používat i řady začínající jiným indexem než $n=1$. Platí (pro libovolné $k\in\en$) že
	$$
	\sum_{n=1}^\infty a_n\quad \text{konverguje}\quad\iff\quad \sum_{n=k}^\infty a_n \quad\text{konverguje}.
	$$
	Konvergence řady tedy nezávisí na konečně mnoha členech (případný součet však pochopitelně ano).
	\item (aritmetika řad) pokud $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n = A$, $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n = B$, $\alpha,\beta\in\er$, potom
	$$
	\sum_{n=1}^\infty (\alpha a_n+\beta b_n)=\alpha A+\beta B,
	$$
	pokud má pravá strana smysl.
	Speciálněe pro $\alpha\not=0$ platí
	$$
	\sum_{n=1}^\infty a_n\quad \text{konverguje}\quad\iff\quad \sum_{n=1}^\infty\alpha a_n \quad\text{konverguje}.
	$$
	\end{enumerate}
\end{exp*}
\subsection{Řady s kladnými členy}
Tedy řady $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ pro které platí $a_n>0$, $n\in\en$.
Limita $\displaystyle\lim_{N\to\infty}s_N$ v tomto případě (z důvodu monotonie) vždy existuje - buď konečná, nebo $+\infty$ - proto často píšeme 

\begin{itemize}
	\item $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n<\infty$, pokud řada $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ konverguje,
	\item $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n=\infty$, pokud řada $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ diverguje.
\end{itemize}

\begin{thm}[nutná podmínka konvergence řady]
	Pokud nekonečná řada $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ konverguje, potom 
	$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$.
\end{thm}
\begin{thm}[srovnávací kritérium]
	Nechť $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ a 
	$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n$ jsou řady s kladnými členy a předpokládejme, že existuje $N\in\en$ takové, že $b_n\geq a_n$, $n\geq N$.
	Potom
	\begin{enumerate}
		\item   $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n<\infty\implies \sum_{n=1}^\infty a_n<\infty$, nebo ekvivalentně
		\item $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n=\infty\implies \sum_{n=1}^\infty b_n=\infty$.
	\end{enumerate}
\end{thm}

\begin{thm}[limitní srovnávací kritérium]
	Nechť $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ a 
	$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n$ jsou řady s kladnými členy a $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=L$.
	Potom
	\begin{enumerate}
		\item pokud $L>0$, pak $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n<\infty\implies \sum_{n=1}^\infty a_n<\infty$,
		\item pokud $L<\infty$, pak $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n<\infty\implies \sum_{n=1}^\infty b_n<\infty$,
		\item pokud $L\in(0,\infty)$, pak $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n<\infty\iff \sum_{n=1}^\infty b_n<\infty$.
	\end{enumerate}
\end{thm}

\begin{thm}[podílové kritérium]
	Nechť $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ je řada s kladnými členy a $L=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$. Potom
	\begin{enumerate}
		\item pokud $L<1$, pak $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n<\infty$,
		\item pokud $L>1$, pak $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n=\infty$.
	\end{enumerate}
\end{thm}

\begin{thm}[odmocninové kritérium]
	Nechť $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ je řada s kladnými členy a $L=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}$.
	Potom
	\begin{enumerate}
		\item pokud $L<1$, pak $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n<\infty$,
		\item pokud $L>1$, pak $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n=\infty$.
	\end{enumerate}
\end{thm}

Důležité limity:
$\displaystyle
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^p}=1,\quad \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac1e
$.

Například podle podílového i odmosninového kritéria snadno dostaneme, že 
$$
\sumn \frac{n!}{n^n}<0.
$$
v případě, že $L=1$, nedávají kirtéria o konvergenci žádnou informaci, nejsou tedy schopna odhalit divergenci ani zjevně divergující řady 
$\displaystyle\sumn 1$, kterou nejsou schopna odlišit od konvergující řady $\displaystyle\sumn\frac{1}{n^2}$. Poznamenejme ještě, že ve formulaci odmocninového kritéria můžeme v definici $L$ nahradit limitu limes superior.


\begin{thm}[integrální kritérium]
	Nechť $N\in\en$ a $f:[N,\infty)\to[0,\infty)$ je nerostoucí a spojitá na intervalu $[N,\infty)$. Pokud $a_n=f(n)$, $n\geq N$, potom
	\begin{equation*}
		\sum_{n=1}^\infty a_n \quad\text{konverguje}\quad \iff\quad (N) \int_{N}^{\infty} f(x)\;dx <\infty.
	\end{equation*}
\end{thm}
Například konvergence integrálu $\displaystyle\int_{2}^\infty\frac{1}{x\log^2 x}\;dx$ tedy implikuje konvergenci řady $\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\log^2 n}$.


\subsection{Řady s obecnými členy - alternující řady}
Jde o řady de tvaru $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n$, kde $a_n\geq 0$, $n\in\en$.

\begin{df}[absolutní konvergence]
	Říkáme, že nekonečná řada $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ konverguje absolutně, pokud  platí $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty |a_n|<\infty$.
\end{df}

\begin{thm}[konvergence a absolutní konvergence]
	Pokud řada $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ konverguje absolutně, potom konverguje.
\end{thm}

\begin{thm}[Leibnizovo kritérium]
		Nechť $\displaystyle\{a_n\}_{n=1}^\infty$ je nerostoucí posloupnost splňující $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$. Potom řada $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n$ konverguje.
\end{thm}


	Řada $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$ konverguje, ale nekonverguje absolutně. Je dobré si všimnout, že řady jak kladných částí, tak záporných částí této řady obě divergují k $+
	\infty$. Takto je to vždy v případě konvergentních řad, které nekonvergují absolutně.

%\input{13_4.tex}
Platí následující tvrzení:
pokud řada $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ konverguje, ale nekonverguje absolutně (v takovém případě říkáme, že konverguje neabsolutně) potom
$$
\sum_{n=1}^\infty (a_n)_-=\infty\quad\text{a}\quad\sum_{n=1}^\infty (a_n)_+=\infty,
$$
kde $x_\pm=\max(\pm x,0)$ značí kladnou a zápornou část $x$.

Na druhou stranu platí následující charakterizace absolutní konvergence:
$$
\left(\sum_{n=1}^\infty |a_n|<\infty\right)\quad\iff\quad \left[\left(\sum_{n=1}^\infty (a_n)_-<\infty\right)\land  \left(\sum_{n=1}^\infty (a_n)_+<\infty\right)\right].
$$
Neabsolutně konvergentní řady mají i následující pozoruhodnou vlastnost:
pokud řada $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ konverguje, ale nekonverguje absolutně a $s\in\er^*$, potom existuje bijekce $\sigma:\en\to\en$, že platí
$$
\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)}=s.
$$
Takovou řadu označujeme za přerovnání řady $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ a speciálně tedy platí, že u neabsolutně konvergentních řad součet na přerovnání závisí.

U absolutně konvergentních řad je situace opět naprosto opačná. Je-li
$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ absolutně konvergentní, potom pro každou bijekci $\sigma:\en\to\en$ platí
$$
\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n.
$$
Součet tedy v tomto případě na přerovnání nezávisí.

	\begin{thm}[Abelovo a Dirichletovo kritérium]
	Nechť $\displaystyle\{b_n\}_{n=1}^\infty$ a $\displaystyle\{a_n\}_{n=1}^\infty$ jsou posloupnosti s reálnými členy, $\displaystyle\{a_n\}_{n=1}^\infty$ monotonní.
	
	Pokud platí alespoň jedna z následujćích podmínek:
	
	\begin{itemize}
		\item (Dirichlet) $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n=0$ a 
		posloupnost částečných součtů řady $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n$ je omezená,
		\item (Abel) posloupnost $\displaystyle\{a_n\}_{n=1}^\infty$ je omezená a řada
		$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n$ konverguje,
	\end{itemize}
	
	potom řada $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n b_n$ konverguje.
\end{thm}

\subsection{Součin řad}

\begin{df}[Cauchyův součin řad]
	Nechť $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ a $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n$ jsou nekonečné řady, potom jejich Cauchyův součin definujeme jako řadu $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty c_n$, kde
	$$
	c_n=\sum_{k=1}^na_kb_{n-k+1}.
	$$
\end{df}

\begin{thm}[součin řad]
	Nechť $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ a $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n$ jsou absolutně konvergentní řady se součty $A$, resp. $B$, potom jejich Cauchyův součin konverguje absolutně a má součet $A\cdot B$.
\end{thm}

Pro (neabsolutně konvergentní řadu) $\displaystyle\sumn \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ platí, že limita
$$
\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^na_ka_{n-k+1}
$$
neexistuje, součin této řady se sebou samou tedy nekonverguje.
Pokud položíme 
$$
\exp(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!},\quad x\in\er,
$$
potom (po úpravách za využití binomické věty a předchozí věty o součinu řad) dostaneme
$$
\begin{aligned}
	\exp(x)\cdot\exp(y)&=
\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right)\cdot
\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{y^n}{n!}\right)
=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\left(\frac{x^k}{k!}\cdot\frac{y^{n-k}}{(n-k)!}\right)\\
&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(x+y)^n}{n!}=\exp(x+y).
\end{aligned}
$$
Stačí ještě dokázat, že 
$$
\lim_{x\to 0}\frac{\exp(x)-1}{x}=1,
$$
a budeme konečně mít dobře definovanou exponenciální funkci.
Porovně můžeme definovat
$$
\sin(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\quad\text{a}\quad
\cos(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}.
$$

\subsection{Posloupnosti a řady komplexních čísel}

Posloupnosti a řady komplexních čísel definujeme analogicky k reálnému případu. Posloupností myslíme zobrazení $f:\en\to\C$ a opět používáme značení $a_n$ místo $f(n)$ a $\displaystyle\{a_n\}_{n=1}^\infty$. 
Limitu definujeme obdobně (pro $L\in\C$)
$$
\lim_{n\to\infty}a_n=L\iff \forall\,\eps>0\;\exists\, N\in\en\;\forall\; n\in\en, n\geq N: |a_n-L|<\eps.
$$
Zde používáme obvyklé značení $|z|=\sqrt{z\overline{z}}$.
Nekonečné řady a jejich součty definijeme opět analogicky k reálnému případu (používáme limity částečných součtů).

Je dobré si uvědomit, že v jistém smyslu nejde v zásadě o nic nového, protože řady komplexních čísel můžeme studovat po složkách, platí totiž
$$
\sumn (a_n+b_ni)=a+bi\quad \iff\quad 
\left(\sumn a_n=a\right)\land \left(\sumn b_n=b\right).
$$
Speciálně tedy platí, že vyšetřování konvergence řad komplexních čísel lze (alespoň teoreticky) převést na vyšetrování konvergence řad reálných čísel. Rovněž stále platí nutná podmínka konvergence $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n= 0$ a i tvrzení
$$
\sumn |a_n|<\infty \quad \implies \quad\sumn a_n\quad\text{konverguje (tj. má součet v $\C$)}.
$$
Platí i věta o součinu řad (pro absolutně konvergentní řady). Speciálně tedy můžeme rozšířit definici exponenciální funce na $\C$ a bude stále platit $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$. Odtut snadno odvodíme
$$
e^{a+bi}=e^a(\cos b+i\sin b).
$$
Toho jsme využili k důkazu následujícího užitečného tvrzení:
je-li $x\not=2k\pi$, $k\in\zet$, potom mají řady
$$
\sumn \sin(nx)\quad\text{a}\quad \sumn\cos(nx)
$$
omezené posloupnosti částečných osučtů. V kombinaci s Dirichletovým kritériem tedy dostaneme například konvergenci řady $\displaystyle\sumn\frac{\sin n}{\sqrt{n}}$.


\section{Mocninné řady}

\begin{df}[mocninná řada]
	Nechť $\displaystyle\{a_n\}_{n=0}^\infty $ je posloupnost kompexních čísel a $z_0\in\C$. Symbol $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n(z-z_0)^n$ budeme nazývat mocninnou řadou se středem $z_0$.
\end{df}
\begin{exp*}
	\begin{enumerate}
		\item Formálním dosazením konkrétní hodnoty $z\in\C$ do mocninné řady dostaneme klasickou číselnou řadu, kterou můžeme studovat obvyklými metodami.
		\item Napříkad volbou $a_n=1$, $n\in\en$, dostaneme geometrickou řadu, pro tu platí
		$$
		\sum_{n=0}^\infty z^n
		\begin{cases}
			\text{konverguje absolutně pro $|z|<1$}\\
			\text{nespňuje nutnou podmínku konvergence pro $|z|>1$}.
		\end{cases}
		$$
		Volbou $a_n=\frac{1}{n!}$ dostaneme řadu definující exponenciální funkci, která konverguje absolutně pro všechna $z\in\C$.
		
	\end{enumerate}
\end{exp*}

%\input{20_4.tex}

\begin{thm}[poloměr konvergence]
	Nechť $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$ je mocninná řada a $z\in\C$. Položme $\displaystyle R=\frac{1}{\limsup\sqrt[n]{|a_n|}}$ (s konvencí $\frac{1}{\infty}=0$ a $\frac10=\infty$). Potom
	\begin{enumerate}
		\item\label{kon} pokud $|z-z_0|<R$, potom (číselná) řada
		$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$ konverguje absolutně,
		\item\label{div} pokud $|z-z_0|>R$, potom (číselná) řada
		$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$ diverguje (řada nesplňuje nutnou podmínku konvergence).
	\end{enumerate}
\end{thm}

\begin{exp*}
	\begin{enumerate}
		\item Hodnotě $R$ z předchozí věty říkáme poloměr konvergence mocninné řady $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n(z-z_0)^n$. Podmínky \eqref{kon} a \eqref{div} určují poloměr konvergence jednoznačně.
		\item Pokud existuje limita $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}$, potom je její hodnota rovna poloměru konvergence.
		\item Pro řadu $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty z^n$ platí $R=1$, pro řadu $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}$ platí $R=\infty$.
	\end{enumerate}
\end{exp*}

\begin{thm}[derivace mocninné řady]
	Nechť $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$ je mocninná řada s poloměrem konvergence $R$. Pro $x\in(-R,R)$ položme
	$$
	f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n.
	$$
	Potom pro $x\in(-R,R)$ existuje vlastní $f'(x)$ a platí
	$$
	f'(x)=\sum_{n=1}^\infty na_nz^{n-1}.
	$$
	Navíc platí, že mocninná řada napravo má poloměr konvergence $R$.
\end{thm}

\begin{exp*}
\begin{enumerate}
	\item Větu můžeme aplikovat opakovaně, čímž speciálně dostaneme, že řada $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ definuje na intervalu $(-R,R)$ nekonečněkrát (spojitě) diferencovatelnou funkci.
	\item Pro $\displaystyle\exp(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$, $x\in\er$, platí $$(\exp(x))'=
\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\exp(x).$$
Protože $\exp(0)=0$, dostáváme speciálně
$$
\lim_{x\to 0}\frac{\exp(x)-1}{x}=1.
$$
Tím jsme konečně dokončili důkaz existence a jednoznačnosti exponenciální funkce.
\item (integrace mocninné řady) Věta má i svou integrální verzi: pokud $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ a $\displaystyle g(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n\frac{x^{n+1}}{n+1}$, potom
$$
\int f\ceq g\quad\text{na $(-R,R)$.}
$$
\item (verze pro určitý integrál) Pro $-R<a<b<R$ platí (pro Newtonův i Riemannův integrál)
$$
\int_a^b \sum_{n=0}^\infty a_nx^n\;dx=\sum_{n=0}^\infty \int_a^b a_nx^n\;dx.
$$
\item Větu často používáme ke sčítání číselných řad. Například snadno ověříme, že pro $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n}}{n}$ platí
$$
f'(x)=\sum_{n=1}^\infty x^{n-1}=\frac{1}{1-x}
$$
a tedy
$$
f(x)\ceq -\log(1-x),\quad |x|<1.
$$
Porovnáním hodnot v bodě $0$ ($f(0)=0$ a $-\log(1-0)=0$) pak dostaneme integrační konstantu rovnu nule a platí $f(x)=-\log(1-x)$, $|x|<1$.
Tedy například pro číselnou řadu $\displaystyle \sumn \frac{1}{n5^n}$ dostaneme součet $-\log(\frac54)$.

Je pozoruhodné, že ačkoliv je výsledná fukce $-\log(1-x)$ definována v bodě $-1$ a mocninná řada $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n}}{n}$ rovněž konverguje v bodě $-1$ (podle Leibnizova kritéria), nemůžeme podle věty usoudit, že platí $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n}}{n}=-\log 2$.

Tato rovnost ovšem skutečně platí a je důsledkem následujícího tvrzení známého jako Abelova věta: 
nechť $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$ je mocninná řada s poloměrem konvergence $R$. Potom platí
\begin{enumerate}
	\item pokud konverguje řada $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_nR^n$, potom platí
	$$
	\sum_{n=0}^\infty a_nR^n=\lim_{x\to R-}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n
	$$
	\item pokud konverguje řada $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^n$, potom platí
	$$
	\sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^n=\lim_{x\to R+}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n.
	$$
\end{enumerate}
	\item Pro $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$, $x\in(-R,R)$ a $n\in\en$ platí
	$$
	f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty n(n-1)\cdots(n-k+1)a_nx^{n-k}.
	$$
	Dosazením $x=0$ dostaneme $f^{(k)}(0)=k!a_k$, tedy rovněž platí $a_k=\dfrac{f^{(k)}}{k!}$ a dostáváme koeficienty, které dobře známe z Taylorových polynomů. Platí tedy, že funkce zadaná mocninnou řadou je v kruhu konvergence součtem tzv. Taylorovy řady (se stejným středem), ve smyslu následující definice.
\end{enumerate}
\end{exp*}	
\begin{df}[Taylorova řada]
	Nechť $f$ je  funkce, která je nekonečněkrát diferencovatelná v bodě $x_0$. Porom definujeme její Taylorovu řadu se středem v bodě $x_0$ jako
	$$
\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.	
	$$
\end{df}
Obecně neplatí, že by funkce měla být součtem své mocninné řady (i když tato konverguje) kdekoliv mimo střed $x_0$.
Například funkce 
$$
f(x)=
\begin{cases}
	e^{-\frac{1}{x^2}},&\quad x\not=0,\\
	0,&\quad x=0.
\end{cases}
$$
splňuje $f^{(n)}(0)=0$, $n\in\en$ a tedy příslušná Taylorova řada se středem v bodě $0$ konverguje na $\er$ k hodnotě $0$, nicméně $f(x)\not=0$, $x\not=0$.

Taylorovy řady nemusíme nutně počítat z definice, ale čato můžeme využít naše poznatky z teorie mocninných řad (na základě výše uvedené poznámky), například pro funkci $f(x)=\arctan x$ platí
$$
f'(x)=\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty (-x^2)^n
=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^{2n}, \quad |x|<1,
$$
a tedy (po určení integrační konstanty)
$$
f(x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}, \quad |x|<1.
$$
Mocninná řada napravo je pak už nutně Taylorovou řadou funkce $\arctan x$ se středem v bodě $0$.

\begin{df}[reálně analytická funkce]
	Říkáme, že funkce $f$ definovaná na otevřeném intervalu $I$ je reálně analytická (na $I$), pokud pro každé $x_0\in I$ existuje $\delta>0$, že $f$ je součtem své Taylorovy řady se středem v bodě $x_0$ na intervalu $(x_0-\delta,x_0+\delta)$.
\end{df}
Například funkce $\log x$ je reálně analytickou funkcí na intervalu $(0,\infty)$. Její Taylorovu řadu pro obecné $x_0\in(0,\infty)$ (jejímž je pak nutně součtem na $(x_0-R,x_0+R)$, kde $R$ je příslušný poloměr konvergence) jsme spočítali (metodou podobnou výše uvedenému výpočtu u funkce $\arctan x$) jako
$$
\log(x_0)+\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{1}{x_0^{n+1}}\frac{(x-x_0)^{n+1}}{n+1}.
$$
Poloměr konvergence je zjevně roven $x_0$.

Pro reálně analytické funkce tedy platí násladující: jsou-li $f$ a $g$ reálně analytické na okolí bodu $x_0$ a platí $f^{(n)}(x_0)=g^{(n)}(x_0)$, $n=0,1,\dots$, potom $f=g$ na okolí bodu $x_0$. 

Jinými slovy: mocninné řady se shodují, právě tehdy, když se shodují všechny jejich koeficienty.
To můžeme použít například při řešení diferenciálních rovnice, kde (za předpokladu existence reálně analytického řešené), můžeme hledat řešení ve tvaru mocninné řady.

%\input{27_4.tex}

Zkusíme nalézt řešení rovnice $y''=y$ ve tvaru mocninné řady.
Předpokládejme, že $\displaystyle y=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$.
Potom
$$
y''=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}.
$$
Protože dvě mocninné řady se rovnají právě tehdy, když se rovnají všechny jejich koeficienty, bude $y$ řešením rovnice právě tehdy, když bude platit
$$
a_{n-2}=n(n-1)a_n,\quad n\geq 2. 
$$
Opakovaným využitím tohoto vztahu dostaneme podmínky
$$
a_{2k}=\frac{a_0}{(2k)!}\quad\text{a}\quad a_{2k+1}=\frac{a_1}{(2k+1)!}.\quad k\in\en.
$$
Hodnoty $a_0$ a $a_1$ pak odpovídají počáteční podmínce
$$
y(0)=a_0,\quad y'(0)=a_1.
$$
Volbou $a_0=1$ a $a_1=0$ dostaneme 
$$
y=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2k}}{(2k)!}=\argcosh x,
$$
volbou $a_0=0$ a $a_1=1$ dostaneme 
$$
y=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=\argsinh x.
$$
Mocninné (Taylorovy) řady můžeme rovněž počítat pomocí pravidel, která známe z výpočtu Taylorových polynomů.
\begin{itemize}
	\item $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (\alpha a_n +\beta b_n)x^n=
	\alpha 	\sum_{n=0}^\infty a_nx^n+
	\beta 	\sum_{n=0}^\infty b_nx^n,$
	\item $\displaystyle\left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\right)\cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_nx^n\right)= \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}\right)x^n.$
\end{itemize}

\section{Alternativní sčítací metody}
Definice součtu nekonečné řady pomocí limity částečných součtů nemusí vždy vyhovovat našim potřebám. Existuje mnoho dalších způsobů, jak součet řady definovat a využívají se rovněž různé axiomatické přístupy, například můžeme požadovat platnost následujících axiomů
\begin{itemize}
	\item[(N1)]   $\displaystyle(N)\sum_{n=0}^\infty (\alpha a_n +\beta b_n)=
	\alpha 	(N)\sum_{n=0}^\infty a_n+
	\beta 	(N)\sum_{n=0}^\infty b_n,$
	\item[(N2)] $\displaystyle(N)\sum_{n=0}^\infty a_n=a_0+
	(N)\sum_{n=0}^\infty a_{n+1}.$
\end{itemize}
Z těchto axiomů například dostaneme
$$
(N)\sum_{n=0}^\infty x^n=1+(N)\sum_{n=0}^\infty x^{n+1}=1+x(N)\sum_{n=0}^\infty x^{n},
$$
což dává
$$
(N)\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}
$$ 
za předpokladu, že $\displaystyle(N)\sum_{n=0}^\infty x^n$ je dobře definována a vlastní.
Zpravidla také požadujeme, aby platilo
$$
(N)\sum_{n=0}^\infty a_n=\sum_{n=0}^\infty a_n,
$$
pokud řada konverguje v klasickém smyslu.
Ukázali jsme si dvě metody, které tuto podmínku i oba axiomy (N1) a (N2) splňují (existují ale široce užívané sčítací metody, které například nesplňují axiom (N2)).

První byla Cesarovská sčítatelnost, kde definujeme
$$
(C)\sum_{n=0}^\infty a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{s_0+s_1+\cdots s_n}{n+1},
$$
pokud je limita napravo vlastní,
Místo limity částečných součtů $s_n$ tedy používáme limitu jejich aritmetických půměru (tzv. Cesarovskou limitu).
Pomocí této metody jsme spočítali
$$
(C)\sum_{n=0}^\infty(-1)^n=\frac{1}{2}
$$

Druhá byla Abelovská sčítatalnost, kde definujeme
$$
(A)\sum_{n=0}^\infty a_n=\lim_{x\to 1-}\left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\right),
$$
pokud je limita napravo vlastní. Tuto limitu známe z Abelovy věty.

Jako příklad jsme spočítali
$$
(A)\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}n=\frac14.
$$
Rovněř jsem si ukázali, že tato řada není Cesarovsky sčítatelná (byla by ale sčítatelné Cesarovskou metodou druhého řádu, kde bychom počítali limitu aritmetických půměrů z aritmetických půměrů).

\section{Metrické prostory}
\begin{df}[Metrický prostor]
	Metrickým prostorem nazýváme dvojici $(M,\rho)$, kde $M$ je množina a $\rho:M\times M\to[0,\infty)$ je zobrazení (tzv. metrika) spňující pro $x,y,z\in M$:
	\begin{enumerate}
		\item $\rho(x,y)=0\iff x=y$,
		\item $\rho(x,y)=\rho(y,x)$,
		\item $\rho(x,y)\leq \rho(x,z)+\rho(y,z)$\quad\text{(trojúhelníková nerovnost)}
	\end{enumerate}
\end{df}
Na množině $\er$ máme například metriky
\begin{equation}\label{metriky:primka}
	\rho(x,y)=|x-y|,\quad\text{nebo} \quad\rho(x,y)=\arctan|x-y|
\end{equation}
obdobně můžeme vybavit množinu $\er^d$ metrikami
\begin{equation}\label{metriky:rd}
	\rho(x,y)=\sqrt{\sum_{n=1}^d(x_n-y_n)^2},\quad\text{nebo}\quad
	\rho(x,y)=\sum_{n=1}^d|x_n-y_n|,
\end{equation}
které jsou speciálními případy metrik
\begin{equation}\label{metriky:lpvrd}
	\rho(x,y)=\left(\sum_{n=1}^d|x_n-y_n|^p\right)^{\frac1p},\quad p\geq 1,
\end{equation}
případně metrikou
\begin{equation}
	\quad \rho(x,y)=\max_{n=1,\dots,d}|x_n-y_n|,
\end{equation}
která bývá často chápána jako limitní případ metrik v \eqref{metriky:lpvrd} pro $p=\infty$.
Podobné metriky zavádíme i na prostorech posloupností
\begin{equation}\label{metrika:lpvseq}
	\rho(\{x_n\},\{y_n\})=\left(\sum_{n=1}^\infty|x_n-y_n|^p\right)^{\frac1p},\quad p\geq 1,
\end{equation}
na prostoru všech posloupností $\{x_n\}$ pro které platí $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty|x_n|^p<\infty$,
případně
\begin{equation}
	\rho(\{x_n\},\{y_n\})=\sup_{n\in\en}|x_n-y_n|,
\end{equation}
na prostoru všech posloupností $\{x_n\}$ pro které platí $\displaystyle\sup_{n\in\en}|x_n|<\infty$ (tj. omezených posloupností).

Rovněž prostor $C([a,b])$ můžeme vybavit metrikami podobného typu
\begin{equation}\label{metrika:lpfunkce}
	\rho(f,g)=\left(\int_a^b |f-g|^p\right)^{\frac1p},\quad\text{resp.}\quad 
	\rho(f,g)=\max_{x\in[a,b]}|f(x)-g(x)|.
\end{equation}
Obecně rovněž platí, že libovolnou množinu můžeme vybavit metrikou (tzv. ultrametrikou)
\begin{equation}\label{ultrametrika}
	\rho(x,y)=\begin{cases}
		0,&\quad\text{pokud $x=y$},\\
		1,&\quad\text{pokud $x\not=y$}.
	\end{cases}
\end{equation}
\begin{df}[normovaný lineární prostor]
	Normovaným lineárním prostorem nazýváme dvojici $(V,||\cdot||)$, kde $V$ je vektorový prostor nad tělesem $\er$ nebo $\C$ a $||\cdot||:V\to[0,\infty)$ je zobrazení spňující pro $x,y\in V$ a $\lambda\in \er$ (resp. $\lambda\in\C$) podmínky
	\begin{enumerate}
		\item $||x||=0\iff x=0\in V$,
		\item $||\lambda x||=|\lambda|\cdot||x||$,
		\item $||x+y||\leq ||x||+||y||$.
	\end{enumerate}
\end{df}
Je-li $||\cdot||$ norma na $V$, potom $\rho(x,y):=||x-y||$ je metrika na $V$ (indukovaná normou $||\cdot||$). Příkladem takových metrik jsou všechny předchozí příklady mimo druhé metriky v \eqref{metriky:primka} a ultrametriky v \eqref{ultrametrika}.

Je-li navíc $V$ vektorový prostor vybavený skalárním součinem $\langle\cdot,\cdot\rangle$, můžeme vždy definovat normu na $V$ jako $||x||=\sqrt{\langle x,x\rangle}$. To je například případ metrik \eqref{metriky:lpvrd}, \eqref{metrika:lpvseq} a \eqref{metrika:lpfunkce} pro $p=2$.

%\input{4_5.tex}

V metrických a normovaných prostorech platí rovněž následující nerovnosti, které známe z $\er$:
$$
|\rho(x,y)-\rho(x,z)|\leq\rho(y,z),\quad \bigl|||x||-||y||\bigr|\leq||x-y||
$$

Analogicky k posloupnostem reálných a komplexních čísel definujeme i posloupnosti prvků obecné množiny $M$, tedy jako zobrazení z $\en$ do $M$. %Definice limity takovýchto posloupností je pak víceméně identická s definicí limity v $\er$
\begin{df}[limita posloupnosti v metrickém prostoru]
	Nechť $(M,\rho)$ je metrický prostor a $\displaystyle\{x_n\}_{n=1}^\infty$ je posloupnost prvků z $M$. Říkáme, že $x\in M$ je limitou posloupnosti $\displaystyle\{x_n\}_{n=1}^\infty$ vzhledem k metrice $\rho$ (píšeme $\displaystyle\rho-\lim_{n\to\infty} x_n=x$), pokud platí $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\rho(x_n,x)=0$.	
\end{df}
Alternativně můžeme pochopitelně limitu posloupnosti definovat i známým výrokem
$$
\lim_{n\to\infty} x_n=x\iff \forall\;\eps>0\;\exists N\in\en\;\forall n\in\en, n\geq N: \rho(x_n,x)<\eps.
$$

\begin{exp*}
	\begin{enumerate}
		\item Posloupnosti mající limitu podle definice výše budeme nazývat konvergentní (v metrice $\rho$).
		\item Limita v metrickém prostoru je určena jednoznačně.
		\item Posloupnost $\displaystyle\{x_n\}_{n=1}^\infty\subset \er^d$, $x_n=(x_n^1,\dots,x_n^d)$, $n\in\en$ a $x=(x^1,\dots,x^d)$ platí
		$$
		(\rho-\lim x_n=x)\iff \left(\lim x_n^i=x^i,\quad i=1,\dots,d\right),
		$$
		pokud $\rho$ je kterákoliv z $p$-metrik na $\er^d$, $p\in[1,\infty]$.
	\end{enumerate}
\item Pro metriku
\begin{equation*}
	\rho(x,y)=\begin{cases}
		0,&\quad\text{pokud $x=y$},\\
		1,&\quad\text{pokud $x\not=y$}.
	\end{cases}
\end{equation*}
na $M$ platí a posloupnost $\displaystyle\{x_n\}_{n=1}^\infty\subset M$ platí
$$
(\rho-\lim x_n=x)\iff (\exists\; N\in\en\;\forall\; n\in\en,n\geq N:x_n=x).
$$
\end{exp*}
\begin{df}[ekvivalentní normy a metriky]
	Říkáme, že dvě metriky $\rho$ a $d$ na množině $M$ jsou ekvivalentní, pokud existuje $C>0$, že pro každá $x,y\in M$ platí
	$$
	C\,\rho(x,y)\leq d(x,y)\leq \frac1C\, \rho(x,y).
	$$
	
	Říkáme, že dvě normy $||\cdot||$ a $|||\cdot|||$ na vektorovém prostoru $V$ jsou ekvivalentní, pokud existuje $C>0$, že pro každé $x\in V$ platí
	$$
	C\,||x||\leq |||x|||\leq \frac1C\, ||x||.
	$$
\end{df}

Například všechny $p$-metrky (normy) na $\er^d$ jsou (po dvou) ekvivalentní. Rovněž platí, že ekvivivalence metrik (norem) je relací ekvivalence.

\begin{thm}[spojitost metriky na normy]
	Nechť $(M,\rho)$ je metrický prostor a $\displaystyle\{x_n\}_{n=1}^\infty$ a $\displaystyle\{y_n\}_{n=1}^\infty$ jsou posloupnosti v $M$ pro které platí $\displaystyle\rho-\lim_{n\to\infty}x_n=x$ a $\displaystyle\rho-\lim_{n\to\infty}y_n=y$. Potom
	$\displaystyle\rho-\lim_{n\to\infty}\rho(x_n,y_n)=\rho(x,y)$.
	
	Nechť $(V,||\cdot||)$ je normovaný lineární prostor a $\displaystyle\{x_n\}_{n=1}^\infty$ a $\displaystyle\{y_n\}_{n=1}^\infty$ je posloupnost ve $V$ pro kterou platí $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=x$. Potom
	$\displaystyle\lim_{n\to\infty}||x_n||=||x||$.
\end{thm}

\begin{df}[okolí, otevřené a uzavřené množiny]
	Nechť $(M,\rho)$ je metrický prostor. Okolí bodu $x\in M$ s poloměrem $\eps>0$ (v metrice $\rho$) definujeme jako
	$$
	U(x,\eps)=\{y\in M: \rho(x,y)<\eps\}.
	$$
	Prstencové okolí bodu $x\in M$ s poloměrem $\eps>0$ (v metrice $\rho$) pak definujeme jako
	$$
	P(x,\eps)=U(x,\eps)\setminus\{x\}=\{y\in M: 0<\rho(x,y)<\eps\}.
	$$
	Množinu $U\subseteq M$ nazveme otevřenou (vzhledem k $\rho$), pokud
	platí
	$$
	\forall\; x\in U\;\exists\; \eps>0\; :U(x,\eps)\subseteq U.
	$$
	Množinu $K\subseteq M $ nazveme uzavřenou (vzhledem k $\rho$), pokud je množina $M\setminus K$ otevřená (vzhledem k $\rho$).
\end{df}

%\input{6_5.tex}
\begin{exp*}
	\begin{enumerate}
		\item okolí $U(x,\eps)$ je vždy otevřená množina, uzavřený interval je uzavřená množina (v klasické metrice na $\er$). V metrice 
		\begin{equation*}
			\rho(x,y)=\begin{cases}
				0,&\quad\text{pokud $x=y$},\\
				1,&\quad\text{pokud $x\not=y$}.
			\end{cases}
		\end{equation*}
	je každá množina otevřená i uzavřená. V libovolném metrickém prostoru $(M,\rho)$, jsou množiny $\varnothing$ a $M$ uzavřené i otevřené.
	\item Libovolné sjednocení otevřených množin je otevřená množina: je-li $\{U_a\}$, $a\in A$, systém otevřených množin, je i $\displaystyle\bigcup_{a\in A} U_a$ otevřená množina (ve stejné metrice),
	
	Konečný průnik otevřených množin je otevřená množina:
	jsou-li $U_1,\dots,U_n$ otevřené množiny, je i $\displaystyle\bigcap_{k=1}^n U_k$ otevřená množina (ve stejné metrice).
	
	Libovolný průnik uzavřených množin je uzavřená množina: je-li $\{K_a\}$, $a\in A$, systém uzavřených množin, je i $\displaystyle\bigcap_{a\in A} K_a$ uzavřená množina (ve stejné metrice),
	
	konečné sjednocení uzavřených množin je uzavřená množina:
	jsou-li $K_1,\dots,K_n$ uzavřené množiny, je i $\displaystyle\bigcup_{k=1}^n U_k$ uzavřená množina (ve stejné metrice).
	\end{enumerate}
\end{exp*}

\begin{df}[spojitost v metrickém prostoru]
	Nechť $(M,\rho)$ a $(X,d)$ jsou dva metrické prostory, $\varphi:M\to X$, $a\in M$ a $A\subseteq M$, $a\in A$. Potom říkáme, že $\varphi$ je 
	\begin{itemize}
		\item spojité v bodě $a$, pokud platí
		$$
		\forall\;\eps>0\;\exists\; \delta>0\;\forall x\in U_\rho(a,\delta): \varphi(x)\in U_d(\varphi(a),\eps).
		$$
		\item spojité v bodě $a$ vzhledem k množině $A$, pokud platí
		$$
		\forall\;\eps>0\;\exists\; \delta>0\;\forall x\in U_\rho(a,\delta)\cap A: \varphi(x)\in U_d(\varphi(a),\eps).
		$$
		\item spojité, pokud je spojité ve všech bodech $M$,
		\item spojité vzhledem k $A$, pokud je ve všech bodech $A$ spojité vzhledem k $A$.
	\end{itemize}

\begin{thm}[charakterizace spojitosti]
	Nechť $(M,\rho)$ a $(X,d)$ jsou dva metrické prostory a $\varphi:M\to X$. Potom jsou následující tvrzení ekvivalentní:
	\begin{enumerate}
		\item $\varphi$ je spojité,
		\item $\varphi^{-1}(U)$ je otevřená pro každou $U\subseteq X$ otevřenou,
		\item $\varphi^{-1}(K)$ je uzavřená pro každou $K\subseteq X$ uzavřenou.
	\end{enumerate}
\end{thm}
\end{df}
Analogické tvrzení ovšem neplatí pro obraz, např. $\arctan x$ je spojitá a $\arctan(\er)=(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ otevřená a $\sin x$ je spojitá a $\sin(\er)=[-1,1]$ je uzavřená (připomeňme, že množina $\er$ je (v $\er$) uzavřená i otevřená).
\begin{df}[hromadný a izolovaný bod]
	Nechť $(M,\rho)$ je metrický prostor, $A\subset M$. Bod $a\in M$ nazveme hromadným bodem množiny $A$, pokud platí
	$$
	\forall\;\eps>0\;\exists\; x\in A: x\in P(a,\eps).
	$$
	Bod $a\in A$ nazveme izolovaným bodem množiny $A$, pokud není jejím hromadným bodem.
\end{df}

%\input{11_5.tex}

\begin{df}[vnitřek, uzávěr a hranice]
	Nechť $(M,\rho)$ je metrický prostor, $A\subseteq M$. Potom definujeme
	\begin{itemize}
		\item uzávěr množiny $A$ (vzhledem k $\rho$) jako průnik všech uzavřených množin v $M$ obsahujících $A$ (značíme $\overline A$),
		\item vnitřek množiny $A$ (vzhledem k $\rho$) jako sjednocení všech otevřených množin v $M$ obsažených v $A$ (značíme $A^\circ$),
		\item hranici množiny $A$ (vzhledem k $\rho$) jako $\partial A=\overline A\cap \overline{M\setminus A}$ (alternativně $\partial A=\overline A\setminus A^\circ$)
	\end{itemize}
\end{df}
Snadno nahlédneme, že $\overline A$ je vždy uzavřená množina (je to nejmenší uzavřená množina obsahující $A$), $A^\circ$ je vždy otevřená množina (je to největší otevřená množina obsažená v $A$) a $\partial A$ je vždy uzavřená.

Pro $A=\{x^2+y^2\leq 1\}$ platí
$$
A^\circ = \{x^2+y^2< 1\},\quad \partial A=\{x^2+y^2= 1\},\quad \overline A=A=\overline{A^\circ}.
$$
Poznamenejme, že poslední rovnost neplatí vždy (množina může mít prázdný vnitřek).
Rovněž platí, že je-li $a$ hromadným bodem $A$, pak $a\in\overline{A}$ ($\overline A$ je ve skutečnosti sjednocením $A$ a všech jeho hromadných bodů).

\begin{df}[limita v metrickém prostoru]
	Nechť $(M,\rho)$ a $(X,d)$ jsou dva metrické prostory a $\varphi:M\to X$, $A\subseteq M$ a $a$ hromadný bod $A$. Potom říkáme že $b\in X$ je
	\begin{itemize}
		\item limitou zobrazení $\varphi$ v bodě $a$ vzhledem k množině $A$ (značíme $\displaystyle \lim_{A\ni x\to a}\varphi(x)=b$), pokud platí
$$
\forall\;\eps>0\;\exists\; \delta>0\;\forall x\in P_\rho(a,\delta)\cap A: \varphi(x)\in U_d(b,\eps),
$$
\item limitou zobrazení $\varphi$ v bodě $a$ (značíme $\displaystyle \lim_{x\to a}\varphi(x)=b$) pokud platí $\displaystyle \lim_{M\ni x\to a}\varphi(x)=b$.
	\end{itemize}
\begin{exp*}
	\begin{enumerate}
		\item pro takto definované limity platí mnoho vět, které známe u funkcí jedné proměnné (především jednoznačnost limity, limita složené funkce, Heineho věta, ale i mnoho dalších), pro případ $X=\er$ múžeme přidat i aritmetiku limit a dva strážníky.
		\item $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}=0,\quad 
		\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}$ \text{neexistuje}.
	\end{enumerate}
\end{exp*}
\end{df} 

Dále definujeme následující dvě důležIté třídy metrických prostorů:
\begin{itemize}
	\item úplné prostory jako prostory pro které platí
	$$
	\{x_n\}\text{ konvergentní}\iff
	\forall\; \eps>0\;\exists\; N\in\en\;\forall m,n\in\en,m,n\geq N:
	|x_n-x_m|<0
	$$
	(tedy zhruba řečeno prostory, kde platí věta o Bolzano-Cauchyově podmínce)
	\item kompaktní prostory, kde zhruba řečeno platí Bolzano-Weierstrassova věta, tedy:
\end{itemize}
	
	\begin{df}[kompaktní metrický prostor]
	 	Metrický prostor $(M,\rho)$ nazýváme kompaktní, pokud platí, že každá posloupnost v $M$ má konvergentní podposloupnost (v $M$ vzhledem k $\rho$).
	 \end{df}
Platí, že $\er$ je úplný metrický prostor, $\qe$ není úplný, $[0,1]$ je kompaktní (Bolzano-Weierstrassova věta), $\er$ není kompaktní (vše s obvyklou metrikou na $\er$, rezp. zděděnou z $\er$).

Normované lineární prostory, které jsou úplné nazýváme Banachovy (např. $C([0,1])$), prostory se skalárním součinem, které jsou úplné pak Hilbertovy (např. $l_2$).


%\input{13_5.text}

\section{Funkce více proměnných}



\begin{df}[parciální derivace]
	Nechť $f:G\to\er$, $G\subset\er^d$, $a\in G$, $i\in\{1,\dots,d\}$. Parciální derivaci funkce $f$ v bodě $a$ vzhledem k $i$-té souřadnici (podle $x_i$) definujeme jako
	\begin{equation*}
		\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)=\lim_{t\to 0}\frac{f(a+te_i)-f(a)}{t},
	\end{equation*}
pokud limita napravo existuje.

Parciální defivaci $2.$ řádu funkce $f$ v bodě $a$ vzhledem k $i$-té a následně $j$-té souřadnice pak definujeme jako $\dfrac{\partial }{\partial x_j}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\right)(a)$ a značíme $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}(a)$. Parciální derivace vyšších řádů definujeme analogicky.
\end{df}

\begin{df}[totální diferenciál]
	Nechť $f:G\to\er$, $G\subset\er^d$, $a\in G$.
	Lineární zobrazení $L:\er^d\to\er$ nazýváme totálním diferenciálem (derivací) funkce $f$ v bodě $a$ (značíme $df(a)$, $f'(a)$, $D_f(a)$) pokud platí
	\begin{equation*}
		\lim_{h\to (0,\dots,0)}\frac{f(a+h)-f(a)-L(h)}{|h|}.
	\end{equation*}
\end{df}

\begin{exp*}
	\begin{enumerate}
		\item Pro $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_i}(a)$ zpravidla používáme zápis $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}(a)$ (a podobně pro derivace vyšších řádů).
		\item Parciální derivace a totální diferenciál definujeme podobně i pro zobrazení $F:\er^d\to\er^m$, která derivujeme po složkách, tedy například
		$$
		\frac{\partial F}{\partial x_i}(a)=
		\left(\frac{\partial F_1}{\partial x_i}(a),\dots,
		\frac{\partial F_m}{\partial x_i}(a)\right)^T.
		$$
		\item Označíme-li $\displaystyle\varphi(h) =\frac{f(a+h)-f(a)-L(h)}{|h|}$, $h\not=0$, potom platí
	$$
	f(a+h)-f(a)=Lh+|h|\varphi(h),
	$$
	kde $\varphi(h)\to 0$, pro $h\to 0$. Toto je triviální, ale velice užitečná reformulace definice totálního diferenciálu.
	\item Podobně jako parciální derivace definujeme i derivaci v obecném směru $v\in\er^d\setminus\{0\}$ jako
	$$
	D_vf(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}.
	$$
	Platí tedy, že parciální derivace podle $x_i$ je směrovou derivací ve směru $e_i$.
	\end{enumerate}
\end{exp*}
\begin{thm}[vlastnosti totálního diferenciálu]
		Nechť $f:\er^d\supset D_f\to\er$ má totální diferenciál v bodě $a$, potom platí
		\begin{enumerate}
			\item $f$ je spojitá v $a$,
			\item existují $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)$, $i=1,\dots,d$ a platí $df(a)\cdot h=\sum_{i=1}^d h_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)$.
		\end{enumerate}
\end{thm}
Vektoru 
\begin{equation*}
	\nabla f(a)=\begin{pmatrix}
		\frac{\partial f}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f}{\partial x_2}(a) & \dots  & \frac{\partial f}{\partial x_d}(a) 
	\end{pmatrix}.
\end{equation*}
říkáme gradient funkce $f$ v bodě $a$.
Analogií gradientu pro zobrazení je
	Jacobiho matice (zobrazení $F$ v bodě $a$) definovaná jako
\begin{equation*}
	J_F(a)=\begin{pmatrix}
		\ddfrac{\partial F_1}{\partial x_1}(a) & \dots  & \ddfrac{\partial F_1}{\partial x_d}(a) \\[7pt]
		\vdots & \ddots & \vdots \\[7pt]
		\ddfrac{\partial F_m}{\partial x_1}(a) & \dots  & \ddfrac{\partial F_m}{\partial x_d}(a)
	\end{pmatrix},
\end{equation*}
přičemž opět platí $dF(a)\cdot h=J_f(a)\cdot h$.


\begin{thm}[parciální derivace a totální diferenciál]
	Nechť $f$ má všechny parciální derivace $1.$ řádu na okolí bodu $a\in\er^d$, potom
	\begin{enumerate}
		\item pokud existuje $C\in\er$, že $\left|\ddfrac{\partial f}{\partial x_i}\right|<C$, $i=1,\dots d$, na nějakém okolí bodu $a$, potom $f$ je spojitá v $a$
		\item jsou-li všechny parciální derivace $1.$ řádu spojité v bodě $a$, potom $f$ má v bodě $a$ totální diferenciál.
	\end{enumerate}
\end{thm}

%\input{18_5.tex}

\begin{thm}[diferenciál složeného zobrazení]
	Nechť $F:\er^d\supset D_F\to\er^m$ a $G:\er^m\supset D_G\to\er^k$ a
	nechť existují $dF(a)$ a $dG(F(a))$.
	Potom existuje $d(G\circ F)(a)$ a platí $d(G\circ F)(a)h=dG(F(a))\cdot dF(a)h$, $h\in\er^d$.
\end{thm}

\begin{exp*}
\begin{enumerate}
	\item Nechť pro $f,g:\er\to\er$ existují $f'(a)$ a $g'(a)$. Definujme $F:\er\to\er^2$ a $G:\er^2\to\er$ jako $F=(f,g)$ a $G(u,v)=uv$. Potom podle výše uvedené věty dostaneme 
$$
(fg)'(a)=
\begin{pmatrix}
	g(a)&
	f(a)
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
	f'(a)\\
	g'(a)
\end{pmatrix}
=g(a)f'(a)+f(a)g'(a),
$$
tedy známé pravidlo o derivaci součinu.

Stejným způsobem můžeme dostat pro $f,g:\er^d\to\er$ pravidlo
$$
d(fg)(a)=g(a)df(a)+f(a)dg(a)
$$
a obdobně můžeme získat i analogii klasického pravidla o derivaci podílu.
\item (řetízkové pravidlo) pro speciální případ $F:\er^d\to\er^m$ a $g:\er^m\to\er$ (tedy $g\circ F:\er^d\to\er$) dostaneme
$$
\frac{\partial (g\circ F)}{\partial x_i}(a)=
\sum_{k=1}^m \frac{\partial g}{\partial u_k}(F(a))\frac{\partial F_k}{\partial x_i}(a).
$$
\end{enumerate}
\end{exp*}
Věta o diferenciálu složeného zobrazení má jako důsledek i následující větu o střední hodnotě:
\begin{thm}[o střední hodnotě]
	Nechť $U\subset\er^d$ je otevřená, $f:U\to\er$ a $df(a)$ existuje pro všechna $a\in U$. Potom pro každou dvojici $a,b\in U$ splňující
	$$
	L=\{(1-t)a+tb:t\in(0,1)\}\subset U
	$$
	existuje $\gamma\in L$, že platí
	$$
	f(b)-f(a)=\sum_{k=1}^d \frac{\partial f}{\partial x_k}(\gamma)(b_k-a_k).
	$$
\end{thm}

%\input{20_5.tex}

\begin{thm}[o implicitní funkci]
	Nechť $U\subset \er^{d+m}$ je otevřená, $F:U\to\er^m$, $k\in\en$, $F\in C^{k}(U)$, $(a,b)\in U$ ($a\in\er^d$, $b\in\er^m$).
	Předpokládejme, že $F(a,b)=0$.
	Označme
		\begin{equation*}
		J_X=\begin{pmatrix}
			\ddfrac{\partial F_1}{\partial x_{1}}(a,b)  & \dots  & \ddfrac{\partial F_1}{\partial x_{d}}(a,b) \\[7pt]
			\vdots & \ddots & \vdots \\[7pt]
			\ddfrac{\partial F_m}{\partial x_{1}}(a,b) & \dots  & \ddfrac{\partial F_m}{\partial x_{d}}(a,b)
		\end{pmatrix}
\quad\text{a}\quad
		J_U=\begin{pmatrix}
			\ddfrac{\partial F_1}{\partial x_{d+1}}(a,b) & \dots  & \ddfrac{\partial F_1}{\partial x_{d+m}}(a,b) \\[7pt]
			\vdots & \ddots & \vdots \\[7pt]
			\ddfrac{\partial F_m}{\partial x_{d+1}}(a,b) & \dots  & \ddfrac{\partial F_m}{\partial x_{d+m}}(a,b)
		\end{pmatrix}.
	\end{equation*}
a $M=\{(x,u)\in U: F(x,u)=0\}$ a předpokládejme, že platí
\begin{enumerate}
	\item $(a,b)\in M$,
	\item $\det(J_U)\not= 0$.
\end{enumerate}
	Potom existují $\delta,\Delta>0$ taková, že pro každé $x\in U(a,\delta)$ existuje právě jedno $u_x\in U(b,\Delta)$ takové, že $(x,u_x)\in M$.
	Navíc, označíme-li jako $\varphi$ zobrazení přiřazující bodu $x\in U(a,\delta)$ bod $u_x$ jako výše, je toto zobrazení $C^k(U(a,\delta))$ a platí
	$$
	J_\varphi(a)=-J_U^{-1}J_X.
	$$
\end{thm}

%\input{25_5.tex}

\begin{exp*}
	\begin{enumerate}
		\item (inverzní zobrazení) Nechť $V\subset \er^{d}$ je otevřená, $G:V\to\er^d$, $G\in C^1(V)$, $b\in V$, $\det J_G(b)\not =0$. Definujme $F:\er^d\times V\to\er^d$ jako 
		$$F(x,u)=G(u)-x,\quad (x,u)\in \er^d\times V=: U\subset\er^{2d}.$$ 
		Potom pro $a=(G(b),b)$ (a obvyklé značení pro $J_X$ a $J_U$ jako ve větě o implicitní funkci) platí
		$$
		F(a)=G(b)-G(b)=0,\quad \det J_U=\det J_G(b)\not=0,\quad J_X=-\id.
		$$
		Tedy existuje $\delta>0$ a zobrazení $\varphi:U(G(b),\delta)\to\er^d$, pro které platí $F(x,\varphi(x))=0$, $x\in U(G(b),\delta)$ a $\varphi(G(b))=b$. To je ale totéž jako
		$$
		G(\varphi(x))=x, \quad x\in U(G(b),\delta).
		$$
		Zobrazení $\varphi$ je tedy inverzním zobrazením k zobrazení $G$ na okolí bodu $G(b)$ (proto budeme psát $G^{-1}$ místo $\varphi$).
		Navíc platí $G^{-1}\in C^1(U(G(b),\delta))$ a 
		$$
		J_{G^{-1}}(G(b))=-J_U^{-1}J_X=-(J_G(b))^{-1}(-\id)=(J_G(b))^{-1}.
		$$
		Zobrazením $G\in C^1(U)$, pro která platí $\det J_G(x)\not=0$, $x\in U$, říkáme regulární. V dimenzi jedna jsme si v zimním semestru dokázali existenci globální inverzní funkce k funkci $f$ splňující například $f'>0$ na intervalu. Ve vyšší dimenzi ovšem nemůžeme existenci globální inverze regulárních zobrazení očekávat, stačí uvážit zobrazení $G:(0,\infty)\times\er\to\er^2$ definovaného jako $G(r,\varphi)=(r\cos\varphi,r\sin\varphi)$. To je regulární ($\det J_G(r,\varphi)=r>0$), ale nemá globální inverzi.
	\end{enumerate}
\end{exp*}

\subsection{Extrémy funkcí více proměnných}

Extrémy u funkcí více proměnných definujeme analogicky jako v dimenzi 1. 

\begin{thm}[nutná podmínka pro lokální extrém]
	Pokud má $f$ v bodě $a$ lokální extrém a $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)$ existuje, potom $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)=0$.
\end{thm}	

\begin{df}[Hessova matice]
	Nechť má funkce $f:\er^d\supset D_f\to\er$ všechny derivace $2.$ řádu v bodě $a$.
	Hessovu matici funkce $f$ v bodě $a$ definujeme jako
	\begin{equation*}
		H_f(a)=
		\begin{pmatrix}
			\ddfrac{\partial^2 f}{\partial x_{1}^2}(a) & \dots  & \ddfrac{\partial^2 f}{\partial x_d\partial x_{1}}(a) \\[8pt]
			\vdots & \ddots & \vdots \\[8pt]
			\ddfrac{\partial^2 f}{\partial x_{1}\partial x_d}(a) & \dots  & \ddfrac{\partial^2 f}{\partial x_d^2}(a)
		\end{pmatrix}
	\end{equation*}
\end{df}

\begin{thm}[záměnnost parciálních derivací]
	Nechť $f\in C^2(U)$, $a\in U$, potom pro $i,j\in\{1,\dots,d\}$ platí
	$$
	\ddfrac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_{j}}(a)=\ddfrac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_{i}}(a).
	$$ 
\end{thm}

Spaciálně výše uvedená věta implikuje, že pro funkci $f\in C^2(U)$ a $a\in U$ je $H_f(a)$ symetrická matice.

Uspořádanou $N$-tici $\alpha=(a_1,\dots,a_N)\in\en_0^N$ budeme nazývat multiindexem. Velikostí multiindexu $\alpha$ pak budeme nazývat hodnotu $|\alpha|=a_1+\cdots+a_N$. Dále definujeme 
$$
\binom{|\alpha|}{\alpha}=\frac{|\alpha|!}{a_1!\cdots a_N!},
$$
pro $f\in C^{|\alpha|}(U)$ a $a\in U$ derivaci funkce $f$ v bodě $a$ vzhledem k (podle) multiindexu $\alpha$ jako
$$
D^\alpha f(a)=\frac{\partial ^{|\alpha|}f}{\partial x_1^{a_1}\cdots\partial x_N^{a_N}}(a)
$$
a mocninu $x\in\er^N$ na multiindex $\alpha$ jako 
$$
x^\alpha=x_1^{a_1}\cdots x_N^{a_N}.
$$



%\input{27_5.tex}

\begin{df}[Taylorův polynom]
	Nechť $U\subseteq\er^d$ je otevřená, $N\in\en_0$, $f\in C^{N}(U)$, $a\in U$. Taylorovým polynomem funkce $f$ v bodě $a$ stupně $N$ budeme nazývat polynom
	$$
	T_{f,a}^N(x)=f(a) + \sum_{n=1}^N\frac{1}{n!} \sum_{|\alpha|=n}\binom{n}{\alpha}D^\alpha_f(a)(x-a)^\alpha.
	$$
\end{df}

\begin{thm}[Peanův tvar zbytku]
	Nechť $U\subseteq\er^d$ je otevřená, $N\in\en_0$, $f\in C^{N}(U)$, $a\in U$, potom platí
	$$
	\lim_{x\to a}\frac{f(x)-T_{f,a}^N(x)}{|x-a|^N}=0.
	$$
\end{thm}

\begin{lem}
	Nechť $A$ je symetrická pozitivně definitní matice, potom existuje $\alpha>0$, že $x^TAx\geq \alpha |x|^2$.
\end{lem}

\begin{thm}[postačující podmínka pro lokální extrém]
	Nechť $f:U\to\er$, $U\subset\er^d$ otevřená, $f\in C^2(U)$, $a\in U$.
	Nechť navíc $\nabla f(a)=0$, potom:
	\begin{itemize}
		\item je-li $H_f(a)$ pozitivně definitní, potom má $f$ v $a$ lokální minimum,
		\item je-li $H_f(a)$ negativně definitní, potom má $f$ v $a$ lokální maximum,
		\item je-li $H_f(a)$ indefinitní, potom $f$ v $a$ nemá lokální extrém.
	\end{itemize}
\end{thm}

\begin{df}[extrémy vzhledem k množině]
	Nechť $f:\er^d\supset D_f\to\er$, $M\subset D_f$, $a\in M$. Potom říkáme, že $f$ má v bodě $a$
	\begin{itemize}
		\item lokální maximum vzhledem k množině $M$, pokud existuje $\delta>0$, že pro všechna $x\in P(a,\delta)$ platí $f(x)\leq f(a)$,
		\item globální maximum vzhledem k množině $M$, pokud pro všechna $x\in M$ platí $f(x)\leq f(a)$.
	\end{itemize}
	Analogicky definujeme i lokální a globální minimum $f$ vzhledem k $M$ a ostré varianty.
\end{df}

\begin{thm}[o Lagrangeových multiplikátorech]
	Nechť $n,d\in\en$, $n<d$, $U\subset\er^d$ otevřená, $f,g_1,\dots,g_n\in C^{1}(U)$.
	Položme $G=(g_1,\dots,g_n)$ a 
	\begin{equation*}
		M=\{x\in G: G(x)=0 \}.
	\end{equation*}
	Nechť $f$ má v bodě $a\in M$ lokální extrém vzhledem k $M$, potom platí alespoň jedna z následujících podmínek:
	\begin{enumerate}
		\item vektory $\nabla g_1(a),\dots,\nabla g_m(a)$ jsou lineárně závislé,
		\item existují $\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\er$ taková, že
		$$
		\nabla f(a)=\sum_{i=1}^n \lambda_i\nabla g_i(a).
		$$
	\end{enumerate}
\end{thm}

%\input{1_6.tex}

Nechť $\varphi:\er^d\to\er$ má v bodě $z$ totální diferenciál. Definujme $\varphi:\er^d\to \er$ jako $f(x)=\nabla \varphi(z)\cdot x$ (tedy $f(x)$ je derivace $\varphi$ v bodě $z$ ve směru $x$). Položme $M=\sph=\{x\in\er^d: |x|=1\}$. Potom podmínka (ii) z předchozí věty (podmínka (i) není splněna nikdy) dává pro extrém $f$ v bodě $a$ vzhledem k $M$ rovnici ($g(x)=x_1^2+\cdots x_d^2-1$)
$$
\nabla f(a)=\nabla \varphi(z)=2\lambda(a_1,\dots,a_d).
$$
Tedy extrémů vzhledem k $M$ nabývá $f$ v bodech $\displaystyle\pm\frac{\nabla \varphi(z)}{|\nabla \varphi(z)|}$. To odpovídá faktu, že $\nabla\varphi(z)$ udává směr největšího růstu (a $-\nabla\varphi(z)$ největšího klesání) funkce $\varphi$ v bodě $z$.

\begin{df}[kompaktní množina]
	Nechť $(M,\rho)$ je metrický prostor a $K\subseteq M$. Potom říkáme, že $K$ je kompaktní, pokud je metrický prostor $(K,\rho|_{K\times K})$ kompaktní.
\end{df}

\begin{thm}[kompaktnost v $\er^d$]
	Nechť $K\subset\er^d$ je uzavřená a omezená (existuje $\delta>0$, že $K\subset U(0,\delta)$), potom $K$ je kompaktní.
\end{thm}

Jako dúsledek pak platí, že je-li $f$ spojitá vzhledem ke kompaktní množině $M$, pak vzhledem k $M$ nabývá globálního maxima i globálního minima. Rovněž triviálně platí, že každá kompaktní množina je uzavřená a omezená.

\begin{df}[úplný metrický prostor]
	Metrický prostor $(M,\rho)$ nazýváme úplný pokud každá posloupnost $\{x_n\}\subset M$ splňující podmínku
	$$
	\forall\;\eps>0\;\exists\; N\in\en\;\forall\; m,n\in\en, m,n\geq N:
	\rho(x_n,x_m)<\eps
	$$
	je konvergentní (tj. má limitu v $M$ vzhledem k $\rho$).
\end{df}

\begin{thm}[kontraktivní zobrazení]
	Nechť $(M,\rho)$ je metrický prostor.
	Zobrazení $\Phi:M\to M$ nazýváme kontraktivní (kontrakce), pokus existuje $0<r<1$, že pro všechna $x,z\in M$ platí
	$$
	\rho(\Phi(x),\Phi(z))\leq r\rho(x,z).
	$$
\end{thm}

%\input{3_6.tex}

\begin{thm}[Banachova o kontrakci]
	Nechť $(M,\rho)$ je neprázvný úplný metrický prostor a $\Phi:M\to M$ kontrakce. Potom existuje právě jedno $x\in M$ pro které platí $\Phi(x)=x$ (tzv. pevný bod zobrazení $\Phi$).
\end{thm}

\begin{thm}[Picardova]
	Nechť $U\subset\er\times\er^d$ je otevřená a $F:U\to\er^d$ a nechť navíc platí
	\begin{itemize}
		\item $F$ je spojitá na $U$,
		\item pro každé $(a,b)\in U$ existují $\delta>0$ a $L>0$, že pro všechna $(x,u),(x,v)\in U((a,b),\delta)$ platí 
		$$
		|F(x,u)-F(x,v)|\leq L|u-v|.
		$$
		Potom pro každé $(a,b)\in U$ existuje $\delta>0$, že rovnice
		$$
		f'(x)=F(x,f(x))
		$$
		má na intervalu $(a-\delta,a+\delta)$ právě jedno řešení splňující $f(a)=b$.
	\end{itemize}
\end{thm}

\end{document}







 



